\documentclass[a4paper,12pt, titlepage]{article} \usepackage{graphicx, wrapfig} \usepackage{amsmath} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[swedish]{babel} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{float} \restylefloat{figure} \pagestyle{fancy} \setcounter{secnumdepth}{-1} \begin{document} \begin{titlepage} \title{Laboration i Tunneltransport} \author{Fredrik Olsen} \date{\today} \maketitle \end{titlepage} \fancyhf{} \lhead{Fredrik Olsen} \rhead{\today} \rfoot{\thepage} \section{Syfte och Teori} % (fold) \label{sec:syfte} I den här laborationen fick vi möjlighet att studera elektrontunnling över enkla och dubbla barriärer. Teorin bakom är den som vi har studerat fram till nu, en elektron med vågform som infaller mot en potentialbarriär kan ``låna'' energi för att ta sig igenom barriären och komma ut på andra sidan. Genom vidare studie kan man se att transmissionen ökar exponentiellt med energin med vilken elektronen infaller. En approximation som man gör i detta fallet är att transmissionen $T \approx e^{-2\kappa a}$ där $a$ är bredden på barriären och $\kappa = \sqrt{2m\left(V_0-E\right)/\hbar^2}$. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{tunnellabb-enkel-barriar} \caption{Enkelbarriär} \label{fig:enkelbarriar} \end{center} \end{figure} När vi har dubbla barriärer ser situationen annorlunda ut. Det skapas nämligen en potentialbrunn mellan barriärerna, denna brunn har bundna energilägen i vilka elektroner får existera. Detta betyder att om elektronen infaller med energi som inte motsvarar ett bundet läge i potentialbrunnen kommer elektronen att känna av båda barriärerna som en enskild barriär. När elektronens energi motsvaras av ett bundet läge i brunnen kommer elektronen istället att behandla de bägge barriärerna som två enskilda barriärer. Med två enskilda barriärer behöver den tunnla genom avståndet $a$ två gånger istället för att tunnla genom det totala avståndet $2a+2b$ som vi ser i Figur~\ref{fig:dubbelbarriar}. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{tunnellabb-dubbel-barriar} \caption{Dubbelbarriär} \label{fig:dubbelbarriar} \end{center} \end{figure} \\ Som ett resultat av tunnlingstransmissionen skulle vi kunna betrakta ett tunt lager av ett ämne med högre potential som en resistans. För att göra jämförelsen med vanliga resistanser vet vi ju att $U = R \times I$ där $U$ är spänning, $R$ är resistans och $I$ är strömmen. Jag tar för givet att alla vet att detta är en linjär funktion. För att mäta resistansen skulle vi koppla upp någonting i stil med detta: \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{tunnellabb-vanlig-resistans} \caption{Mätning av traditionell resistor} \label{fig:resistanskoppling} \end{center} \end{figure} Genom att notera värden på spänning och ström skulle vi med tillräckligt många mätdata bestämma kunna bestämma resistansen väldigt noggrant. Vi skall se senare att vi kommer tillämpa en liknande koppling i våra experiment på barriärerna för att kunna mäta hur deras resistans beror av spänningen. Eftersom vi känner till att approximationen för transmissionen är en exponentialfunktion är ju en hypotes att strömmen också kommer att växa exponentiellt beroende på spänningen. % section syfte (end) \section{Utförande} % (fold) \label{sec:utförande} Under laborationen studerade vi fyra olika prover, varav två var dubbelbarriärer och två var enkelbarriärer. Under experimenten mätte vi spänningen som låg över provet och strömmen som gick genom systemet. För att elektronerna skulle ha så låg energi som möjligt när vi skickade in dem mot barriären sänkte vi ner provet i flytande kväve. För att kunna mäta spänningen över provet noggrant utnyttjade vi en fyrpunktskoppling. Detta innebär att vi kopplade in voltmetern direkt över provet och inte direkt på sladdarna som ledde strömmen genom provet, alltså kopplade vi inte som vi kan se i Figur~\ref{fig:resistanskoppling}. För att kunna kontrollera spänningen som låg över provet använde vi en potentiometer. Kopplingsschemat visas i Figur~\ref{fig:labbkoppling}. \pagebreak \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{tunnellabb-labbkoppling} \caption{Uppkoppling för laborationsutrustning} \label{fig:labbkoppling} \end{center} \end{figure} Beroende på hur vi ändrar potentiometern kommer mer eller mindre av spänningen att ligga över resistansen i potentiometern. Som vi ser i figuren kommer all spänning ligga över resistansen i potentiometern om vi drar ner inkopplingen på resistansen till lägsta nivån, vilket resulterar i att ingenting ligger över vårt prov. Med en noggrann potentiometer kan vi kontrollera spänningen extremt noggrant. % section utförande (end) \section{Resultat} % (fold) \label{sec:resultat} Efter mätningar på samtliga prover fick vi ut i vår åsikt ganska bra resultat. Vi tog in mätvärden med 0.1V mellanrum förutom där vi upptäckte att det hände någonting drastiskt. \subsubsection{Prov A} % (fold) \label{ssub:prov_a} När vi mätte på det här provet steg värdena först exponentiellt som vi hade väntat. Men vid ungefär 0.32V hoppade helt plötsligt spänningen upp till strax över 0.5V. Vad vi hade upptäckt var en topp på transmissionen. När vi sedan gick nedåt igen kom vi ner till ungefär 0.43V där den sedan hoppade över till runt 0.25V. Se Figur~\ref{fig:matning-prova} i bilagor för grafen över våra mätvärden. Efter hoppet så växte funktionen ``normalt'' igen. % subsubsection prov_a (end) \subsubsection{Prov B} % (fold) \label{ssub:prov_b} För detta provet började vi med liknande mätning som för prov A. Vi noterade strömmen av kretsen vid intervall om 0.1V. När vi kom upp till 0.18V så gjorde spänningen ett liknande hopp som i prov A. Denna gången hoppade den till runt 0.4V och när vi sedan försökte dra ner spänningen igen kom vi ända ner till runt 0.28V innan den hoppade tillbaka igen. Vi hittade alltså en liknande topp i prov B som i prov A, men förskjuten ner på spänningsskalan. Även denna funktion fortsatte att växa exponentiellt efter att vi tagit oss förbi ström-toppen. Se Figur~\ref{fig:matning-provb} för graf. % subsubsection prov_b (end) \subsubsection{Prov C} % (fold) \label{ssub:prov_c} Det här provet betedde sig inte alls som vi hade förväntat oss. När vi gjorde spänning-ström mätningarna fick vi ut värden som ökade konstant. Se grafen i Figur~\ref{fig:matning-provc}, jag har dragit en linje mellan alla mätvärden men även dragit en anpassad linjär kurva genom alla punkter. Den anpassade funktionen är nästan perfekt och ser ut såhär $I = 41.73U$, vi vet att $I = \frac{U}{R}$ vilket betyder att $\frac{1}{R}=41.73\Rightarrow R = 0.024$ vi får alltså en linjär resistans på \mbox{0.024 $\Omega$} för denna barriär. % subsubsection prov_c (end) \subsubsection{Prov D} % (fold) \label{ssub:prov_d} Det sista provet betedde sig precis så som vi hade förväntat oss från början. Det blev en nästan perfekt exponentiellt växande graf, se Figur~\ref{fig:matning-provd}. Till skillnad från de andra proverna så växte strömmen extremt långsamt för den här barriären. De andra barriärerna närmade sig runt 100$mA$ när vi drog upp spänningen mot 1V och denna kom aldrig högre upp än 4.5$mA$, det här tyder på att barriären förmodligen var ganska tjock jämfört med de andra och hade alltså ganska ``dålig'' transmission. Men trots det blev det fina mätvärden och vi fick en graf som motsvarade vår första hypotes för resistans i enkelbarriär. % subsubsection prov_d (end) % section resultat (end) \section{Diskussion} % (fold) \label{sec:diskussion} I resultaten kunde vi observera en exponentiellt växande ström, detta liknar kurvan för transmissionen då man ökar energin. Anledningen till detta är inte att vi ökar energin för elektronen utan snarare att vi lägger på en spänning. Den här spänningen skapar ett spänningsfall över barriären. \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{spanningsfall-enkelbarriar} \caption{Spänningsfall över enkelbarriär} \label{fig:spanningsfall-enkelbarriar} \end{center} \end{figure} Som vi kan se i Figur~\ref{fig:spanningsfall-enkelbarriar} ligger spänningsfallet i princip enbart över själva barriären. Det totala spänningsfallet är i detta fall markerat med $\Delta U$ och är alltså så mycket som vår energi har ``sjunkit'' från ena sidan till den andra. När vi lägger på större spänning får vi naturligtvis ett större spänningsfall. Resultatet av detta kan man med en förenkling förklara i att vi ``minskar medelhöjden'' av barriären. När höjden sjunker blir detta samma effekt som om vi skulle öka energin för partikeln, detta kan vi se i formeln $\kappa = \sqrt{2m\left(V_0-E\right)/\hbar^2}$ som vi finner inuti approximationen för transmissionen, där alltså $V_0$ är det vi kallar för ``medelhöjd''. För att förklara vad som händer med dubbelbarriären kan vi göra en liknande figur. \begin{figure}[!h] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{spanningsfall-dubbelbarriar} \caption{Spänningsfall över dubbelbarriär} \label{fig:spanningsfall-dubbelbarriar} \end{center} \end{figure} Vad jag har ritat som punkt-sträckade linjer i figuren är bundna tillstånd för en kvantbrunn. Som vi diskuterade tidigare så bör vi alltså förvänta oss ett stort hopp i transmissionen då energin för elektronen ligger på samma nivå som det bundna tillståndet. För att beräkna bundna tillstånd för en ändlig kvantbrunn kan vi använda oss utav följande formel som är plockad ur läroboken\footnote{``Kvantvärldens fenomen - teori och begrepp'' av Gunnar Ohlén -- s.74-75}. \begin{equation} \label{eq:energier} \tan\left( \sqrt{2mb^2\left( E+V_0\right)/\hbar^2}\right) = \sqrt{\left( -E\right)/\left(E+V_0\right)} \end{equation} Men Ekvation~\ref{eq:energier} är uppställd för att ha potentiell energi 0 vid toppen och $-V_0$ vid botten och betecknar den bundna energin som en negativ energi E. Vi vill bestämma $E^\prime$ som energin från botten av brunnen och har satt $V_0^\prime$ som höjden av barriären. Det blir uppenbart att den energi vi är ute efter, $E^\prime$, måste vara lika med $E+V_0$. Med våra omskrivningar får vi då följande formel. \begin{equation} \label{eq:energier-positiva} \tan\left( \sqrt{2mb^2\left( E^\prime\right)/\hbar^2}\right) = \sqrt{\left( E^\prime-V_0^\prime\right)/\left( E^\prime)\right)} \end{equation} Notera att detta enbart är ekvationen för att beräkna energinivåerna i brunnen med positiv paritet. Vi har följande ekvation för att beräkna energinivåerna med negativ paritet. \begin{equation} \label{eq:energier-negativa} \tan\left( \sqrt{2mb^2\left( E^\prime\right)/\hbar^2}\right) = -\sqrt{\left( E^\prime)\right)/\left( E^\prime-V_0^\prime\right)} \end{equation} Genom att kombinera Ekvation~\ref{eq:energier-positiva} och Ekvation~\ref{eq:energier-negativa} kan vi beräkna energinivåerna som vi förväntas få i våra kvantbrunnar. Detta har jag löst genom att plotta upp vänsterledet och de båda olika högerleden i Matlab. Resulterande så kallade ``tangenskurvor'' kan ni se i Figur~\ref{fig:tangenskurvor-6nm} för 6nm brunnen och Figur~\ref{fig:tangenskurvor-9nm} för en brunn med bredd 9nm. För att plocka ut energinivåerna till detta skrev jag ett litet lämpligt script och fann att 6nm brunnen har sin lägsta energinivå på 0.0613eV medan 9nm brunnen hade sin lägsta energinivå på 0.0360eV. I detta fallet har jag räknat med att elektronmassan har en ``effektiv massa'' som är 6.7\% av sin vilomassa. \\ \\ Med den här vetskapen så skulle man ju enligt vår tidigare teori förvänta sig att en topp framkommer då vi har ökat spänningen så att spänningsfallet har sänkt ner botten på brunnen till en nivå så att den bundna energinivån ligger i höjd med de infallande elektronernas energier. På grund av tekniska skäl såsom att materialet kring barriärerna och kopplingspunkterna också har resistans finner vi inte hela spänningsfallet över själva barriären, i fallet med dubbelbrunnarna kan man räkna med att ungefär 15\% av vårt uppmätta värde på spänningen ligger över första barriären. \\ \\ I Prov A mätte vi upp en topp i strömmen på 0.325V, 15\% av detta är 0.0488V. I Prov B observerade vi en liknande topp men denna förekom på 0.179V i våra mätningar, 15\% av detta är i sin tur 0.0268V. Vi visste att vi hade två dubbelbarriärer och avståndet mellan barriärerna var 6nm resp 9nm. Vi visste dock inte vilka prover som hade vilka avstånd. En förväntad topp för 6nm provet var 0.0613V, vi kan se att detta motsvarar mätningarna i Prov A ganska okej, det skiljde på ungefär 0.01V. En förväntad topp för 9nm provet är på 0.036V, vid 0.0268V kunde vi observera en topp i Prov B vilket då i sin tur återigen reflekterar det förväntade värdet med en ungefärlig skillnad på 0.01V. Prov A är alltså en dubbelbarriär med 6nm avstånd mellan dem och Prov B är en dubbelbarriär med 9nm avstånd mellan barriärerna. \\ \\ Som vi nämnde tidigare betedde sig Prov C precis som en vanlig resistans. Detta kan vi jämföra med till exempel ett tunt oxidlager på kontakterna i vägguttaget. Det skapar en barriär som är så tunn att den beter sig precis som en vanlig resistans. När vi anpassade kurvan i Figure~\ref{fig:matning-provc} såg vi att resistansen som skapades av barriären var 0.024$\Omega$ vilket är en, för de flesta praktiska skäl, väldigt liten resistans. \\ \\ Prov D var i efterhand det provet som var mest likt det jag förväntade mig att se. Det vi observerade här var i princip exakt i överensstämmelse med vad vi skulle observera om vi ökade energin på elektronerna istället för att lägga på en spänning och på så sätt ``sänka'' $V_0$. Med rätt verktyg och jämförelser skulle vi förmodligen kunna beräkna bredden på barriären. % section diskussion (end) \section{Felkällor} % (fold) \label{sec:felkällor} Genom att citera en viss handledare kan man dra slutsatsen att det finns minst en felkälla: ``Det finns fler felkällor än den mänskliga faktorn''. Så vilka är de andra? Vi nämnde tidigare att 30\% av den uppmätta spänningen ligger faktiskt över provet. 30\% känns ju direkt som ett väldigt approximativt värde här, och att sen dela upp det på att 15\% ligger över varje barriär i dubbelbarriären när det bevisligen finns ett material mellan barriärerna som också tillför resistans är ju inte heller helt korrekt. När vi räknar med en effektiv massa på elektronen så beräknar vi det för materialet GaAs. Siffran 6.7\% här är ju självklart också en approximation. Detta är väl kanske däremot inte de största felkällorna. I våra mätningar hoppade voltmetern ofta väldigt mycket i värde medan strömmen stod helt still. En brist i möjlighet att stabilisera mätverktygen kan säkert ha bidragit till fel, som den 11e mätpunkten i Figur~\ref{fig:matning-prova}. Förmodligen kan det ha bidragit till att våra mätvärden av topparna inte har varit helt exakta heller. Vi sänkte ner hela provet i flytande kväve. Enligt handledaren var det tydligen meningslöst att försöka göra mätvärden om kvävet började bubbla för mycket, vilket tyder på att det kan ha varit ganska känsligt för inverkan på våra mätvärden. Utöver visningsfel i teknisk utrustning, svår kontroll över provmiljön, approximationer och mänskliga fel tror jag inte det finns så mycket annat som kan gå fel. % section felkällor (end) \pagebreak \section{Bilagor} % (fold) \label{sec:bilagor} \setlength{\floatsep}{3px} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{prova} \caption{Graf över mätvärden för Prov A} \label{fig:matning-prova} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{provb} \caption{Graf över mätvärden för Prov B} \label{fig:matning-provb} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{provc} \caption{Graf över mätvärden för Prov C} \label{fig:matning-provc} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{provd} \caption{Graf över mätvärden för Prov D} \label{fig:matning-provd} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{tangenskurvor-6nm} \caption{Tangenskurvor som visar energinivåerna i 6nm kvantbrunnen} \label{fig:tangenskurvor-6nm} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{tangenskurvor-9nm} \caption{Tangenskurvor som visar energinivåerna i 9nm kvantbrunnen} \label{fig:tangenskurvor-9nm} \end{center} \end{figure} % section bilagor (end) \end{document}