\documentclass[a4paper,12pt, titlepage]{article} \usepackage{graphicx, wrapfig, amsmath, fancyhdr, float} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[swedish]{babel} \restylefloat{figure} \pagestyle{fancy} \setlength\oddsidemargin{-0.5cm} \setlength\textwidth{17cm} \setlength\topmargin{-0.5cm} \setlength\textheight{24cm} \renewcommand{\headwidth}{17cm} \begin{document} \begin{titlepage} \title{Laboration i Optiska Effekter} \author{Fredrik Olsen} \date{\today} \maketitle \newpage \thispagestyle{empty} \tableofcontents \end{titlepage} \fancyhf{} \lhead{Fredrik Olsen} \rhead{\today} \rfoot{\thepage} \section{Inledning} % (fold) \label{sec:inledning} Optiska effekter som ljusutsändning och ljusabsorption framstår i alla material. Bandgapet mellan valensbandet och ledningsbandet i materialet gör så att det synliga ljuset absorberas i olika grad. Är gapet väldigt stort blir ämnet genomskinligt, om ämnet bara har ett distinkt bandgap kan vi se att ämnet absorberar ett visst ganska kort intervall av våglängder, den absorptionen är vad som ger materialet sin färg. I den här laborationen ska vi titta på hur vi kan framkalla absorption, hur vissa material inte absorberar synligt ljus alls och hur vi kan framställa material för att absorbera en våglängd och sedan sända ut flera olika våglängder. % section inledning (end) \section{Teori} % (fold) \label{sec:teori} \subsection{Absorption och emission i band} % (fold) \label{sub:ljusutsändning_mellan_band} Alla ämnen är uppbyggda av atomer. Atomer kan för elektronen liknas vid en potentialbrunn. När vi sätter många atomer tätt intill varandra så börjar de interagera, brunnarnas energinivåer delas upp i flera nivåer som vi har sett i läroboken ``Kvantvärldens fenomen - teori och begrepp'' av Gunnar Ohlén s.101. Resultatet av detta är att vi får så kallade energiband. Precis som i en vanlig brunn kan de här energibanden vara fyllda till viss del av elektroner. Om ett band är helt fyllt och bandet ovanför inte är det så kan vi excitera elektroner från det undre bandet till det övre. Detta är illustrerat i Figur~\ref{fig:bandgap}. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{bandgap} \caption{Excitation av elektron mellan valensband och ledningsband} \label{fig:bandgap} \end{center} \end{figure} När ljuset kommer in och träffar en elektron tillförs energi och den exciteras upp i bandet över så länge det bandet inte är fyllt. Observera här att energin som kan absorberas inte är en fast bestämd energi som det är i en vanlig brunn. Eftersom banden har en viss bredd har vi också ett visst intervall av energier som kan absorberas. Minsta energin som krävs för att excitera en elektron är skillnaden mellan $E_c$ och $E_v$, $E_c$ är lägsta energinivån bandet som vi kallar ledningsbandet medan $E_v$ är högsta energin i bandet som vi kallar valensbandet. För bekvämlighets skull kallar vi skillnaden mellan de energierna för $E_g$. Efter att elektronen exciterats lämnar den ett hål i valensbandet. Ett hål är enkelt beskrivet bara avsaknaden av en elektron. Materialet är ju nämligen i ett högre energitillstånd då vi har en elektron exciterad, naturen kämpar alltid efter att vara i lägsta möjliga energitillstånd och vill alltså få tillbaka elektronen till hålet. På grund av vibrationer och andra effekter trillar elektronen utan någon ljusutsändning ner till $E_c$ om den exciterades upp över den nivån. Från $E_c$ kommer elektronen sedan falla ner till $E_v$ och på så sätt förlora energi i form av en utsänd foton med energi $E_g$. Effekten att vi kan absorbera ett visst spektra av våglängder men hela tiden bara sända ut en enskild, nämligen den med energi $E_g$, kallas även för fotoluminiscens. % subsection ljusutsändning_mellan_band (end) \subsection{Natriumklorid kristallen} % (fold) \label{sub:natriumklorid_kristallen} Natriumklorid är en kristall som består av positiva Na$^+$- och negativa Cl$^-$-joner som hålls ihop av den elektriska kraften. Natriumklorid är en nästan färglös isolator. Detta beror på faktumet att Cl-jonen delar sin överskottselektron med närmsta Na-jon. På det här sättet kommer hela valensbandet vara fyllt. På grund av ämnets natur är bandgapet $E_g$ så pass stort att under normala förhållanden exciteras aldrig några elektroner till ledningsbandet. Ämnet blir alltså en isolator. På grund av att bandgapet är så pass stort skulle det krävas en ganska stor energi för att excitera några elektroner. Det är alltså bara ljus med hög energi som absorberas, det synliga ljuset har inte tillräckligt hög energi och absorberas därför inte. Detta medför att ämnet blir genomskinligt. Genom en process där vi belyser kristallen med röntgenstrålning kan vi slå ut en Cl$^-$-jon men få den att lämna kvar sin elektron. Det blir alltså ett positivt laddat hålrum med en fångad elektron i. Detta positivt laddade hålrum skulle vi för elektronen kunna kalla en potentialbrunn där potentialen runt omkring går mot oändligheten. När vi inte har slagit ut några Cl$^-$-joner har vi alltså en potentialstruktur enligt Figur~\ref{fig:potential-nacl-obruten}. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{potential-nacl-obruten} \caption{Potentialstruktur för en hel NaCl kristall} \label{fig:potential-nacl-obruten} \end{center} \end{figure} Så om vi slår ut en Cl$^-$-jon får vi en potentialstruktur enligt Figur~\ref{fig:potential-nacl-bruten} istället. I figuren har jag även ritat ut en streckad linje som en approximation av en brunn med samma bredd som avståndet mellan två Na$^+$-joner. Vi kan ju se att det inte är en helt rimlig approximation, men skall noggrannare studera detta i senare del av laborationen. Man bör också notera att Figur~\ref{fig:potential-nacl-bruten} är en grov förenkling, i verkligheten har vi 3 dimensioner och brunnen som skapas är således också en tredimensionell sådan. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{potential-nacl-bruten} \caption{Potentialstruktur för en bruten NaCl kristall} \label{fig:potential-nacl-bruten} \end{center} \end{figure} \\ \\ En intressant sak att observera efter att kristallen blivit bestrålad är att den har fått en viss färg. Detta beror på att vi numera förutom det vanliga bandgapet även har brunnar i vår kristall-struktur. Som vi studerat tidigare har brunnar specifika energinivåer, separata från banden i ämnet som skapar brunnen. På grund av detta har vi flera energinivåer, eftersom brunnens energinivåer troligen är lägre än bandgapet kan vi alltså nu absorbera en viss specifik våglängd. När en våglängd absorberas så kommer den ju att sändas ut igen, men när den sänds ut igen kommer riktningen av utsändningen att ändras, när en elektron hoppar ner till valensbandet så kan den skicka ljuset åt vilket håll som helst. På grund av detta kommer vi att observera en viss avsaknad av de våglängder som absorberas och ämnet kommer inte längre vara helt genomskinligt. Eftersom ämnet har en temperatur och därför också vibrerar kommer bredden på den här potentialbrunnen att variera och vi kommer alltså kunna absorbera ett spektrum av våglängder snarare än bara en specifik. Av detta förstår vi ju självklart också att om vi skulle göra samma sak på andra kristaller med annorlunda avstånd mellan atomerna skulle färgen skiftas på grund av att brunnbredden skulle skiftas. Atomer med stort avstånd skulle absorbera våglängder med låg energinivå och atomer med litet avstånd skulle absorbera våglängder med stor energinivå. % subsection natriumklorid_kristallen (end) \subsection{Fotoluminiscens och kvantbrunnar} % (fold) \label{sub:fotoluminiscens_och_kvantbrunnar} Om vi skulle konstruera klossar med två olika material, där det ena materialets klossar var av samma bredd hela tiden och det andra materialets bredd minskade hela tiden skulle vi kunna sluta med en kloss som såg ut som Figur~\ref{fig:multibrunnar}, i figuren har jag dessutom ritat in hur vi kommer att belysa denna kloss med laser senare i laborationen. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{multibrunn} \caption{Varierande ämne A och B} \label{fig:multibrunnar} \end{center} \end{figure} Om vi dessutom skulle välja värden på $E_c$ och $E_v$ för de olika materialen så att bandgapet i material A var mindre än bandgapet i material B skulle vi kunna framställa en potentialstruktur som såg ut som Figur~\ref{fig:potentialstruktur-multibrunn} för elektronen resp. hålet. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{potentialstruktur-multibrunn} \caption{Potentialstrukturen för elektronen resp. hålet} \label{fig:potentialstruktur-multibrunn} \end{center} \end{figure} Som vi kan se produceras 5 unika bandgap som elektronen kan hoppa emellan. När vi belyser provet med en laser så kan vi alltså excitera elektroner från $E_{vb}$ till $E_{cb}$, genom det vi diskuterade i Avsnitt~\ref{sub:ljusutsändning_mellan_band} kommer vi alltså att kunna studera ljusutsändning med energi $E_{gb}$. Men eftersom vi har brunnar här också kommer elektronen att kunna exciteras upp i ledningsbandet, men ifrån ledningsbandet trilla ner (utan någon ljusutsändning) till den bundna nivån i någon av brunnarna. Ifrån brunnarna kommer sedan elektronerna att hoppa ner till sina motsvarande hål på ``andra sidan'' potentialstrukturen. Utifrån detta kan vi konstantera att vi kommer kunna observera ljusutsändning med energierna $E_{ga1-4}$ utöver $E_{gb}$. Det enda kravet vi behöver ställa på lasern för att vi skall kunna observera 5 olika energier är alltså att laserns energi är större än $E_{gb}$. För att vi skall kunna beräkna vilka energier som sänds ut behöver vi veta $E_{gb}$ samt $E_{ga1-4}$. $E_{g}$ för båda ämnena kan vi anta att vi vet. För att räkna ut $E_{ga1-4}$ måste vi dock även veta energinivån för första bundna tillståndet i en ändlig brunn. Eftersom vi har olika effektiv massa för elektronen och hålet kommer vi att få olika energinivåer i brunnarna för elektronen resp. hålet. Vi kan beräkna dessa med ekvationen för energinivå i potentialbrunn då vi har satt botten av brunnen till 0 i potentiell energi, denna ekvation är framtagen i ``Laboration i Tunneltransport'' av Fredrik Olsen och redovisas i Ekvation~\ref{eq:energier-positiva}. \begin{equation} \label{eq:energier-positiva} \tan\left( \sqrt{2mb^2\left( E^\prime\right)/\hbar^2}\right) = \sqrt{\left( E^\prime-V_0^\prime\right)/\left( E^\prime)\right)} \end{equation} I ekvationen kommer $V_0 = E_{cb} - E_{ca}$ och bredden får vi anta att vi vet. Om vi kallar $E^\prime$ för första nivån i första brunnen för elektronen $E_{1e}$ och första nivån i första brunnen för hålet $E_{1h}$ så kommer $E_{ga1} = E_{ca}-E_{va} + E_{1h} + E_{1e}$. På samma sätt kan vi beräkna $E_{ga2-4}$. % subsection fotoluminiscens_och_kvantbrunnar (end) % section teori (end) \section{Syfte} % (fold) \label{sec:syfte} I laborationen skulle vi studera de effekter som diskuterats i Teori avsnittet. Laborationen var väsentligen uppdelad i två delar. En del gick ut på att studera bestrålade och obestrålade NaCl kristaller samt studera bestrålade och obestrålade KCl kristaller. Genom att ta in mätvärden på genomsläppt intensitet som funktion av våglängd för vardera prov skulle vi kunna se hur absorptionen förändrades efter att en kristall blivit bestrålad. Genom att studera absorptionen skulle vi även kunna bestämma en effektiv bredd på vår approximerade kvantbrunn som uppstod i det positivt laddade hålet. I den andra delen skulle vi studera provet som nämndes i Avsnitt~\ref{sub:fotoluminiscens_och_kvantbrunnar}. Genom att skicka in en laser mot provet skulle vi observera vilka våglängder av ljusutsändningen som uppstod. % section syfte (end) \section{Utrustning och Utförande} % (fold) \label{sec:utförande} \subsection{Kristallstudier} % (fold) \label{sub:kristallstudier} Till den här delen av laborationen använde vi oss utav en ljusdetektor som matade informationen till en dator, en vanlig lampa och en monokromator. \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{kristall-rigg} \caption{Schematisk bild över uppställning av utrustning för kristallstudier} \label{fig:kristall-rigg} \end{center} \end{figure} Funktionen av monokromatorn är att bryta upp det inkommande ljuset. Gittret i monokromatorn bryter upp ljuset baserat på våglängd, så vi får belyst ett brett område med korta våglängder på ena sidan och långa våglängder på andra sidan, vi sprider ut det inkommande spektrumet med andra ord. Genom att då rikta gittret kan vi skicka ut en specifik våglängd genom en liten öppning. I vårt experiment gjorde vi 100 mätningar med olika våglängder från 400nm till 700nm. Vi lät ljuset med specifik våglängd passera genom provet och in i detektorn som vi kan se i Figur~\ref{fig:kristall-rigg}. Därefter plottade vi upp intensitet vid detektorn som funktion av våglängd. Vi gjorde dessa mätningar på bestrålade och obestrålade prover av NaCl samt bestrålade och obestrålade prover av KCl. Ett syfte av laborationen var ju att studera skillnaden i absorptionen mellan det bestrålade och obestrålade provet. För att göra detta måste vi först komma fram till hur vi matematiskt skall beräkna absorptionen. Vi antar att vi inte vet infallande intensitet $I_0$, vi antar också att vi inte känner till kristallens ursprungliga transmittans (visst ljus reflekteras och skingras utan att absorberas). \begin{figure}[ht] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{transmittans-absorption} \caption{Figur som illustrerar de olika intensiteterna och transmissionerna} \label{fig:transmittans-absorption} \end{center} \end{figure} Som vi ser i Figur~\ref{fig:transmittans-absorption} är $I_1 = TI_0$. Här känner vi alltså inte till $T$. Men vi vet att $I_0$ är samma för Prov 2 (det bestrålade) som för Prov 1. Vi kan anta att den grundläggande transmittansen $T$ är ungefär detsamma för båda, så skillnaden i transmittansen $T_b$ måste vara skillnaden mellan ämnets transmittans (bortsett från reflektion och dylikt) och ämnets absorption. Transmittansen bortsett från reflektion och dylikt måste vara 1, vilket innebär att $T_b = 1-A$ där $A$ är absorptionen. Vi får då följande ekvationer. \begin{equation} \label{eq:absorption} \begin{gathered} I_1 = TI_0 \\ I_b = TT_bI_0=T\left( 1-A \right) I_0 \\ \frac{I_b}{I_1} = \frac{T\left( 1-A \right) I_0}{TI_0}=1-A \\ \end{gathered} \end{equation} I laborationen mäter vi alltså upp värden på $I_b$ samt $I_1$ och utifrån detta kan vi räkna ut absorptionen för de av strålningen uppkomna brunnarna. % subsection kristallstudier (end) \subsection{Fotoluminiscens} % (fold) \label{sub:fotoluminiscens} I den här biten av laborationen hade vi tillgång till ett prov enligt Figur~\ref{fig:multibrunnar}. En laser med våglängd 532nm, en optisk sensor som kände av intensitet och energi av det ljuset som träffade den och en kylningsanordning för provet. Vi belös provet enligt Figur~\ref{fig:multibrunnar}. Den optiska sensorn matade information till datorn och datorn plottade i sin tur automatiskt upp intensitet som funktion av våglängd av det från provet utsända ljuset. Eftersom provet från början var varmt fanns det elektroner utspridda i båda banden hela tiden och det gick inte att göra några mätningar. På grund av detta kylde vi ner provet med flytande kväve för att lägga alla elektronerna i valensbandet. När detta var gjort kunde vi excitera elektroner till ledningsbandet och låta dem falla ner enligt teorin i Avsnitt~\ref{sub:fotoluminiscens_och_kvantbrunnar}. % subsection fotoluminiscens (end) % section utförande (end) \section{Resultat} % (fold) \label{sec:resultat} \subsection{Ljuset från monokromatorn} % (fold) \label{sub:ljuset_från_monokromatorn} I experimentet där vi använde oss utav en monokromator och en lampa för att belysa proven gav monokromatorn inte en jämn intensitet över hela spektrumet av de synliga våglängderna. I Figur~\ref{fig:bara-lampa} kan vi se hur intensiteten fördelade sig över spektrumet när vi inte hade något prov i vägen. Detta kan vara bra att hålla i åtanke för vidare analys av intensiteten då vi lät ljuset gå igenom ett prov. % subsection ljuset_från_monokromatorn (end) \subsection{Natriumklorid} % (fold) \label{sub:natriumklorid} När vi studerade intensiteten för belysning genom NaCl prov såg vi direkt att intensiteten minskade, nästan halverades. Detta beror däremot inte på att vi har någon absorption, utan snarare reflektion och andra effekter som vi diskuterade tidigare. Detta kan vi delvis bekräfta genom att se att kurvan för det obestrålade provet inte har förändrats någonting jämfört med bara lampan. Som vi ser i Figur~\ref{fig:transmission-nacl} har det dock framkommit en väsentlig skillnad på kurvans utseende för det bestrålade provet. Enligt vår matematiska modell i Ekvation~\ref{eq:absorption} skall vi alltså kunna dividera varje mätvärde ur det bestrålade provet med mätvärdet av obestrålade, ta 1 minus resultatet av denna divisionen och få absorptionen. Gör vi detta får vi ett resultat som ser ut som Figur~\ref{fig:absorption-nacl}. Vi kan tänka oss att detta är rimligt genom att göra beräkningen i huvudet, men kurvan ser inte ut att säga särskilt mycket. Vi kan tolka den lilla uppgången som finns mellan 450nm och 500nm som att absorptionen ökar där, men att den sen ökar igen mot slutet motsäger vår teori lite grann och kan vara mätfel. % subsection natriumklorid (end) \subsection{Kaliumklorid} % (fold) \label{sub:kaliumklorid} När vi gjorde mätproverna för KCl gjorde vi likadant som för NaCl. Vi mätte först på ett obestrålat och sedan ett bestrålat. Båda kurvorna kan vi se i Figur~\ref{fig:transmission-kcl}. Om vi behandlar mätdatan enligt Ekvation~\ref{eq:absorption} här också kan vi rita upp en graf för absorptionen och studera om det uppkommer en absorption runt någon speciell våglängd i detta fallet. Resultatet visas i Figur~\ref{fig:absorption-kcl}. Som vi kan se uppkommer det en mer förväntad kurva här som har sitt tydliga center runt 550nm våglängd. % subsection kaliumklorid (end) \subsection{Laser mot kvantbrunnarna} % (fold) \label{sub:laser_mot_kvantbrunnarna} När vi skickade in laser mot provet illustrerat i Figur~\ref{fig:multibrunnar} fick vi direkt upp en graf på datorn som visade intensiteten av det utsända ljuset som funktion av dess våglängd. Denna graf såg ut som i Figur~\ref{fig:laser-kvantbrunnar}. Vi ser en väldigt stor och tydlig topp runt 690nm, en annan stor topp runt 710nm samt två små runt 660nm och 730nm. Vad som bryter mot vad vi förväntade oss är att vi inte kan observera 5 tydliga toppar utan bara 4. Material A är GaAs, material B är GaInP. Dessa ämnen är valda på grund av deras bandgap. Med uppsättningen som vi har är bandgapet för material A 1,52eV och bandgapet för material B är 1,96eV. Om vi skall beräkna energinivåerna med Ekvation~\ref{eq:energier-positiva} måste vi alltså veta $V_0$. Som vi nämnde tidigare är $V_0 = E_{cb}-E_{ca}$ eller om vi bara har $E_g$ värdena och antar att de fördelar sig lika mellan GaAs och GaInP kan vi skriva att $V_0 = \left( E_{gb}-{E_{ga}} \right) /2 = 0.225$eV. I laborationshandledningen är bredden på brunnarna givna och vi kan då ställa upp tabellen nedan för energierna i första bundna nivån uträknat med Ekvation~\ref{eq:energier-positiva}. Notera att vi också använder oss utav effektiva massan för elektronen när vi räknar energinivån i dessa brunnar. Eftersom hålet och elektronen inte har samma effektiva massa kommer detta resultera i att vi får en energinivå för elektronen och en annorlunda energinivå för hålet. \begin{table}[H] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Brunn} & $E_1$ & $E_2$ & $E_3$ & $E_4$ \\ \hline \textbf{Bredd / nm} & 3.672 & 2.825 & 1.977 & 1.425\\ \hline \textbf{Energi elektron / eV} & 0.109 & 0.134 & 0.166 & 0.189\\ \hline \textbf{Energi hål / eV} & 0.0328 & 0.0476 & 0.0747 & 0.1049\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} Eftersom vi nu vet energierna i brunnarna kan vi enligt teorin i Avsnitt~\ref{sub:fotoluminiscens_och_kvantbrunnar} räkna ut de observerade utsända energierna $E_{gb}$ (som vi redan vet) samt $E_{ga1-4}$. De observerade våglängderna bör vara de som listas i följande tabell. \begin{table}[H] \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Energihopp} & $E_{gb}$ & $E_{ga1}$ & $E_{ga2}$ & $E_{ga3}$ & $E_{ga4}$\\ \hline \textbf{Våglängd / nm} & 632.5 & 746.0 & 728.5 & 704.1 & 683.4\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} Vi ser alltså att våglängderna för $E_{ga1-4}$ skulle kunna passa in ganska bra om vi försköt alla våglängderna lite längre ner på skalan. Vad som händer med våglängden för bandgapet i material B är däremot en fråga för diskussionen. % subsection laser_mot_kvantbrunnarna (end) % section resultat (end) \newpage \section{Diskussion} % (fold) \label{sec:diskussion} \subsection{Förväntad absorption hos kristallerna} % (fold) \label{sub:förväntad_absorption_hos_kristallerna} Som vi diskuterade i Avsnitt~\ref{sub:natriumklorid_kristallen} kunde vi likna avsaknaden av en Cl$^-$-jon vid en tredimensionell oändligt djup kvantbrunn. Vi gör detta på grund av att vi har kunskapen att räkna ut energinivåerna för de bundna tillstånden i en sådan. Om vi kan räkna ut energinivåerna så kan vi även räkna ut vilka våglängder som förväntas att absorberas i brunnen. \begin{equation} \label{eq:tredimbrunn} E_n = \frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 \right) \end{equation} Enligt Ekvation~\ref{eq:tredimbrunn} kan vi alltså räkna ut energinivåerna i brunnen om vi har bredden på brunnen $a$. Med givna värden på avstånd mellan Na$^+$-jonerna och K$^+$-jonerna kan vi approximera brunnbredden med dessa värden. Vi kan anta att ljus aldrig absorberas från mer än första till andra nivån, dvs. $E_1$ till $E_2$ \begin{equation} E_2 - E_1 = \frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \begin{cases} \left( 2_x^2 + 1_y^2 + 1_z^2 \right) - \left( 1_x^2 + 1_y^2 + 1_z^2 \right) \\ \left( 1_x^2 + 2_y^2 + 1_z^2 \right) - \left( 1_x^2 + 1_y^2 + 1_z^2 \right) \\ \left( 1_x^2 + 1_y^2 + 2_z^2 \right) - \left( 1_x^2 + 1_y^2 + 1_z^2 \right) \end{cases} = 3\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \end{equation} Den förväntat absorberade energin i brunnen blir alltså $3E_1$. Om bredden på NaCl är 0.564nm har vi alltså en förväntad absorberad våglängd på 349.6nm. På samma sätt blir den förväntat absorberade våglängden för KCl 434.9nm om vi säger att bredden mellan K$^+$-jonerna är 0.629nm. Men detta stämmer ju inte överhuvudtaget. Vi kan tänka oss att approximationen att bredden på brunnen är samma som avståndet mellan atomerna inte stämmer. Det kan man se i Figur~\ref{fig:potential-nacl-bruten} att det är en ganska orimlig approximation. Så om vi lägger in en konstant $\alpha$ i ekvationen för den absorberade energin borde vi kunna räkna ut $\alpha$ från våra uppmätta värden på absorptionen och utifrån detta dra slutsatser om vad vi har för effektiv bredd på brunnen. Vi förändrar alltså ekvationen för den absorberade energin såhär. \begin{equation} E_a = 3\frac{\pi^2\hbar^2}{2m\left( \alpha a\right) ^2} \end{equation} För natriumklorid fick vi inte riktigt ut några mätvärden som övertygar oss om att vi har en specifik absorberad våglängd. Däremot om vi kombinerar den lilla toppen vid 475nm med vårt tidigare approximerade värde på 350nm så kan vi dra slutsatsen att den absorberade våglängden förmodligen inte ligger bortåt 700nm. 475nm är 2.6eV, alltså får vi följande värde på $\alpha$: \begin{equation} \alpha = \frac{\sqrt{3\pi^2\hbar^2/2mE_a}}{a} = 1.168 \end{equation} För att anpassa vår approximation av en oändlig tredimensionell kvantbrunn till våra mätvärden bör vi alltså öka bredden med ungefär 17\%. Vi kan ställa upp samma ekvation för KCl där vi har en mer bestämd absorption kring 550nm. I detta fallet blir $\alpha = 1.126$, vi ser alltså att vi bara ska öka bredden med strax över 12\% här. Vi kan utifrån tabellvärden räkna ut $\alpha$ för LiCl och RbCl också för att se om de liknar varandra. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline \textbf{Ämne} & LiCl & NaCl & KCl & RbCl \\ \hline $\alpha$ & 1.176 & 1.168 & 1.126 & 1.141 \\ \hline \end{tabular} \end{center} Baserat på de här extremt få mätvärdena (och laborationshandledarens ord) kan man anta att $\alpha$ skall vara konstant. Medelvärdet för effektiva brunnbredden blir då 1.15$a$. % subsection förväntad_absorption_hos_kristallerna (end) \subsection{Vad som händer i Figur~\ref{fig:laser-kvantbrunnar}} % (fold) \label{sub:vad_som_händer_i_figur} Enligt mina förväntningar skulle det finnas störst topp i intensitet vid 632nm eftersom det var våglängden för bandgapet i material B. Det fanns däremot ingen topp överhuvudtaget runt 630nm. Eftersom vi belyser provet från sidan skulle man kanske kunna tänka sig att de två brunnarna längst till höger, med förväntade våglängderna 680 och 700nm kan ha bidragit till den sammanlagda stora toppen vid 690nm. Efter det har den tredje brunnen från höger, det vill säga den näst tjockaste med förväntad våglängd 730nm, fått ta del av lite elektroner och har då skapat toppen vid 720nm. Till sist har brunnen längst till vänster med förväntad våglängd 740nm skapat den lilla toppen vid runt 730nm. Om vi sedan tillåter oss att böja lite på den förväntade våglängden från bandgapet i material B kan vi säga att den skapade toppen vid 660nm. En teori till varför detta inte är den största toppen kan då vara att större delen av våra excitera elektroner faktiskt trillar ner i något hål. % subsection vad_som_händer_i_figur (end) % section diskussion (end) \section{Felkällor} % (fold) \label{sec:felkällor} \subsection{Praktiska fel} % (fold) \label{sub:praktiska_fel} Praktiska fel såsom fel på mätinstrument, fel i avläsningsnoggrannhet och dylikt brukar sällan vara särskilt påtagliga. I de flesta fallen bör man kunna med rimligt anpassad utrustning bortse ifrån det helt. Men jag är starkt misstänksam om att det har skett något fel med mätutrustning i genereringen av Figur~\ref{fig:transmission-nacl}. Detta säger jag på grund av att den resulterade absorptionskurvan blev minst sagt otydlig. Hade vi bara gjort om de mätningarna en gång är det möjligt att vi hade kunnat få ut någonting bättre. Vi hade problem med vår första laborationsuppställning där monokromatorn i princip inte ville släppa igenom något ljus alls. Detta leder mig att tro att det kan ha varit liknande bekymmer i hur vår andra uppsättning betedde sig. Jag har inte haft tillfälle att studera någon annans absorptionskurva för att se om det var samma för alla på den maskinen eller om det var jag som på något sätt gjort fel. Vilket för mig till nästa praktiska felkälla som alltid skall nämnas. Mänskliga faktorn. % subsection praktiska_fel (end) \subsection{Konceptuella fel} % (fold) \label{sub:konceptuella_fel} I den här laborationen liksom de flesta ligger däremot inte största felkällan i de praktiska felen. När vi antar att avsaknaden av en atom i en kristall kan liknas vid en enkel tredimensionell (kubisk) kvantbrunn gör vi en väldigt grov modell av verkligheten som vi kan se redan i Figur~\ref{fig:potential-nacl-bruten}. För att förbättra den här modellen skulle vi behöva ställa upp väldigt många avancerade ekvationer för potentialen och sedan lösa schrödingerekvationen utifrån detta. Någonting som vi inte kommer att ha möjlighet att göra på många år antar jag. På samma sätt går inte potentialstrukturen för laborationen med kvantbrunnarna att förenkla så grovt som vi har gjort i Figur~\ref{fig:potentialstruktur-multibrunn}. \\ \\ Verkligheten är aldrig så enkel att man kan rita den i paint. % subsection konceptuella_fel (end) % section felkällor (end) \newpage \section{Bilagor} % (fold) \label{sec:bilagor} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{bara-lampa} \caption{Intensitet av ljuset som kom ut från monokromatorn} \label{fig:bara-lampa} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{transmission-nacl} \caption{Transmittans för bestrålat resp. obestrålat NaCl prov} \label{fig:transmission-nacl} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{absorption-nacl} \caption{Absorption för bestrålat Nacl prov} \label{fig:absorption-nacl} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{transmission-kcl} \caption{Transmittans för bestrålat resp. obestrålat KCl prov} \label{fig:transmission-kcl} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{absorption-kcl} \caption{Absorption för bestrålat KCl prov} \label{fig:absorption-kcl} \end{center} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \includegraphics[scale=0.7]{laser-kvantbrunnar} \caption{Intensitet som funktion av våglängd för fotoluminiscensprovet} \label{fig:laser-kvantbrunnar} \end{center} \end{figure} % section bilagor (end) \end{document}